Uma lei da física além dos poderes da Matemática

Com informações da UCL - 15/12/2015

Um material com intervalo espectral (esquerda) tem um único estado fundamental no limite termodinâmico. Um material sem intervalo espectral (direita) tem um espectro contínuo a partir do estado fundamental.
[Imagem: Cubitt/Perez-Garcia/Wolf]

Física indecifrável

Um problema matemático que está na base de questões fundamentais da física - da física quântica e da física de partículas - é comprovadamente insolúvel.

Este que é o primeiro grande problema na física para o qual uma limitação tão fundamental foi comprovada foi identificado por Toby Cubitt (Universidade College de Londres), David Perez-Garcia (Universidade Complutense de Madri) e Michael Wolf (Universidade Técnica de Munique).

A importância da descoberta pode ser vista no fato de que ela demonstra que, mesmo de posse de uma descrição perfeita e completa das propriedades microscópicas - ou quânticas - de um material, isto não é suficiente para prever o seu comportamento macroscópico.

Intervalo espectral

Veja, por exemplo, o caso dos semicondutores, que estão na base de toda a tecnologia atual. Esses materiais, e vários outros, possuem um pequeno "intervalo espectral" - a energia necessária para transferir um elétron de um estado de baixa energia para um estado excitado, de energia mais alta.

Quando esta energia se torna muito pequena, o intervalo espectral se fecha, tornando possível para o material fazer uma transição para um estado completamente diferente - tornar-se um supercondutor, por exemplo.

Conhecer os detalhes microscópicos de um material e extrapolar matematicamente essas propriedades e comportamentos para o material em escala humana - em outras palavras, passar da física quântica para a física clássica - é considerado um dos instrumentos mais importantes na busca por novos materiais, incluindo algum que exiba a supercondutividade a temperatura ambiente ou que tenha qualquer outra propriedade desejável ou útil.

O trio demonstrou que esta abordagem tem uma limitação crucial, um beco sem saída.

Problemas indecidíveis

O trabalho prova matematicamente que, mesmo com uma descrição completa de um material em escala atômica ou molecular, determinar se ele possui um intervalo espectral ou não é, de fato, uma "questão indecidível".

"Alan Turing é famoso por seu papel na quebra do código Enigma. Mas, entre os matemáticos e cientistas da computação, ele é ainda mais famoso por provar que certas questões matemáticas são 'indecidíveis'. Elas não são nem verdadeiras e nem falsas, só estão fora do alcance da matemática.

"O que nós mostramos é que a diferença espectral é um desses problemas indecidíveis. Isso significa que não pode existir um método geral para determinar se a matéria descrita pela mecânica quântica terá um intervalo espectral ou não. Isto limita a extensão na qual podemos prever o comportamento dos materiais quânticos e, potencialmente mesmo da física de partículas mais fundamental," explicou o professor Toby Cubitt.

O trabalho mostra que é matematicamente impossível sair dos componentes básicos da matéria e derivar seu comportamento macroscópico.
[Imagem: Cubitt/Perez-Garcia/Wolf]

"Nós sabíamos da possibilidade de problemas que são indecidíveis em princípio desde os trabalhos de Turing e Godel na década de 1930. Até agora, porém, isso somente afetava os cantos muito abstratos da ciência da computação teórica e da lógica matemática. Ninguém antes tinha contemplado seriamente isto como uma possibilidade diretamente no coração da física teórica.

"Mas nossos resultados mudam esse quadro. De uma perspectiva mais filosófica, eles também desafiam os pontos de vista reducionistas, já que a dificuldade intransponível reside precisamente na derivação das propriedades macroscópicas partindo de uma descrição microscópica," acrescentou o professor Michael Wolf.

Nova Física

"Mas nem tudo são más notícias," acode rapidamente o terceiro membro do grupo, professor David Perez-Garcia.

"A razão pela qual este problema é impossível de resolver em geral é porque os modelos neste nível apresentam comportamentos extremamente bizarros que essencialmente desafiam qualquer tentativa de analisá-los.

"Mas esse comportamento bizarro também prevê uma física nova e muito estranha que não tinha sido vista antes. Por exemplo, os nossos resultados mostram que a adição de até mesmo uma única partícula a um pedaço de matéria grande poderia, em princípio, mudar dramaticamente suas propriedades. Novas físicas como esta são frequentemente exploradas em tecnologia," completou Perez-Garcia.

De fato, a dopagem - a adição de poucos átomos a um material para alterar suas propriedades - é parte essencial da eletrônica.

Os pesquisadores estão agora justamente verificando se sua descoberta vai além dos modelos matemáticos artificiais produzidos pelos seus cálculos, e atingem materiais mais realistas que possam ser testados em laboratório.

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